Mathematische Verfahren

„Es ist sicherlich eine Wahrheit, dass, wenn es nicht in unserer Macht liegt, zu bestimmen, was wahr ist,
wir dem Wahrscheinlichsten folgen sollten.“

Descartes (1596-1650)

Die Welt ist zum Unglück vieler nicht deterministisch, sondern wir werden permanent mit Unsicherheit und Zufall konfrontiert. Die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre zeitabhängige Erweiterung, die stochastischen Prozesse, sind deshalb so extrem wichtig für die Modellierung komplexer Probleme in der realen Welt und stellen einen wesentlichen Schwerpunkt für die meisten hier zu findenden Arbeiten und Projekte dar. So wird für die Untersuchung von IP-Netzen die Warteschlangentheorie verwendet, die Ausfallratenanalyse benutzt die Erneuerungstheorie und für die Analyse der Kapitalmärkte sind Zeitreihenanalysen und Kalmanfilter die Grundlage für optimale Vorhersage und Entscheidungs-findung.

Die hier zu findenden Modellierungen sind stark von einer subjektiven Wahrscheinlichkeitsauffassung geprägt. Diese ermöglicht a priori angenommene Hypothesen induktiv mit Hilfe von neu hinzukommenden Daten durch Wahrscheinlichkeiten neu zu bewerten und erlaubt auf diese Weise eine Kombination aus Vorwissen und neuen Daten. In den letzten Jahren ist diese geniale Idee von Bayes dazu verwendet worden, Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit vielen Variablen auf Graphen abzubilden. Die Anwendungen dieser so genannten Bayes’schen Netze nehmen zur Zeit explosionsartig zu. Ein einführender Vortrag und eine eher technische Arbeit zu den Bayes’schen Netzen zeigen diese Methode im Detail.

Der zweite Schwerpunkt ist die Optimierungstheorie für die Analyse komplizierter dynamischer Systeme. In den Projekten "Planung optimaler Wege" ist die zentrale Technik die Dynamische Programmierung, eine Weiterentwicklung der klassischen Variationsrechnung.

Wahrscheinlichkeitsaspekte und stochastische Elemente spielen auch in der Optimierungstheorie eine große Rolle. Technische Anwendungen sind Bahnkurvenberechnungen und Steuerungen autonomer Fahrzeuge unter Unsicherheit, nichttechnische Anwendungen sind Finanzmärkte. Diese können als dynamische Systeme aufgefasst werden, deren nichtbeobachtbarer Systemzustand optimal aus den verrauschten Preisen zu schätzen ist. Durch Optimierung einer Utilityfunktion kann anschließend eine optimale Investmentstrategie gefunden werden. Portfoliomanagement ist dann nichts anderes als ein stochastisches “optimal control“ Problem.

Der interdisziplinäre Charakter der hier vorgestellten Arbeiten und Projekte wird auch durch einige mathematische Untersuchungen deutlich, die sich um die Themen Klettern und Bergsteigen drehen.